ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 2013 ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ
ΚΕΦ 1 :  ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΕΚΤΟΣ ΤΩΝ ΕΞΗΣ :
1) Παράγραφος 1.1
2) Από την παράγραφο 1.5 τα : «Διαφορά κύβων, άθροισμα κύβων»
3) Από την παράγραφο 1.6 τα : « διαφορά – άθροισμα κύβων , παραγοντοποίηση της μορφής χ2 + (α+β)χ + αβ »
4) Παράγραφος  1.7
5) Παράγραφος  1.10
ΚΕΦ 2 : Παράγραφοι 2.2 ,  2.4
ΚΕΦ 3 : Παράγραφος 3.3

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΚΕΦ 1 : Παράγραφοι  1.1 ,  1.2 ,  1.5  ,  1.6

Ποιες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα

Αν δύο γωνίες έχουν ίσα ημίτονα και είναι μεταξύ 0 και 180 μοιρών , τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές

Αν ημχ = ημφ , τότε ή χ = φ  ή χ = 180 - φ

πχ. Αν ημω = ημ30 , τότε ή ω = 30 ή ω = 180 - 30 = 150
Αν ημω = 1/2 , τότε ημω = ημ30 και ή ω = 30 ή ω = 150

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Παραπληρωματικές γωνίες είναι οι γωνίες που έχουν άθροισμα 180 μοιρών

Για τις παραπληρωματικές γωνίες ω και φ ισχύει ότι :

ημω = ημφ ,  συνω = - συνφ  και εφω = - εφφ

δηλαδή οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίσα ημίτονα και αντίθετα συνημίτονα και εφαπτομένες

Παραπληρωματικές γωνίες : 30 και 150 , 40 και 140 , 45 και 135, 60 και 120 

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Πως ορίζεται το ημίτονο , το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας γωνίας ω ;

• Αν η γωνία είναι οξεία , τότε  ημω>0, συνω>0 και εφω> 0
• Αν η γωνία είναι αμβλεία , τότε ημω>0 , συνω<0 και εφω<0

Θεωρία & Ασκήσεις στα γραμμικά συστήματα

Κατεβάστε εδώ ένα φυλλάδιο που περιέχει θεωρία και ασκήσεις για την αλγεβρική επίλυση συστημάτων

Θεωρία για τις Ταλαντώσεις

Κατεβάστε εδώ τη βασική θεωρία για το κεφάλαιο 4 των ταλαντώσεων για τη Φυσική Γ΄ Γυμνασίου

Ταλάντωση εκκρεμούς

Ερωτήσεις που πρέπει να ξέρουμε την απάντηση τους για τη ταλάντωση ενός εκκρεμούς :

1. Τι ονομάζουμε περίοδο (Τ) και τι συχνότητα (f) ενός εκκρεμούς ; Ποια είναι η μεταξύ τους σχέση;
2. Τι ονομάζουμε πλάτος ταλάντωσης ενός απλού εκκρεμούς ;
3. Από ποια μεγέθη εξαρτάται η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς ;
4. Σε ποιες θέσεις της ταλάντωσης ενός εκκρεμούς , το σώμα έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια και σε ποιες θέσεις το σώμα έχει μέγιστη κινητική ενέργεια ;

Ερωτήσεις

1. Αν το σώμα της εικόνας ξεκινήσει την ταλάντωσή του από το σημείο Α , ποια κίνηση αντιστοιχεί σε μία περίοδο ;

2. Ποια απόσταση ονομάζουμε πλάτος ταλάντωσης ;

3. Τι ενέργεια έχει το σώμα στη θέση Α και τι ενέργεια έχει στη θέση Ο ;

Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος II

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

Για να επιλύσουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους χ και y με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, εργαζόμαστε ως εξής :

• Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της μιας ή και των δύο εξισώσεων με κατάλληλο αριθμό ώστε οι συντελεστές ενός εκ των αγνώστων να γίνουν αντίθετοι αριθμοί
• Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε ο άγνωστος με τους αντίθετους συντελεστές   φεύγει και προκύπτει εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο την οποία και επιλύουμε
• Αντικαθιστούμε τη τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε και τον άλλον άγνωστο.

Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Για να επιλύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους με τη μέθοδο της αντικατάστασης εργαζόμαστε ως εξής :

• Λύνουμε μία από τις εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο (όποια νομίζουμε ότι είναι πιο απλή)
• Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος τον άγνωστο αυτόν με την ίση παράστασή του που βρήκαμε από την πρώτη εξίσωση
• Προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε
• Αφού λύσουμε την εξίσωση και βρούμε τον έναν άγνωστο, την τιμή που βρήκαμε την αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση οπότε βρίσκουμε και τον άλλο άγνωστο
• Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος  ( x , y ) 

Να λυθεί το σύστημα : 

Ανισώσεις

Για να επιλύσουμε μια ανίσωση που είναι 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, εργαζόμαστε ως εξής :

• Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. (αν οι παρανομαστές περιέχουν μεταβλητές x, παίρνουμε περιορισμούς για να μη μηδενιστούν)
• Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το Ε.Κ.Π.
• Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών
• Κάνουμε τις πράξεις και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
• Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
• Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου 

Προσοχή : Όταν διαιρούμε με αρνητικό αριθμό, αλλάζει η φορά της ανίσωσης

Παραδείγματα : Να λύσετε την ανίσώση : 

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων :

Σημείωση : Για να βρω τις κοινές λύσεις των ανισώσεων, λύνω κάθε μια ανίσωση και τοποθετώ τις λύσεις σε κοινό άξονα 

Ασκήσεις στις ανισώσεις        Δείτε και τις λύσεις 

Κλασματικές Εξισώσεις

Κλασματικές εξισώσεις λέγονται οι εξισώσεις που περιέχουν ένα τουλάχιστον κλάσμα με άγνωστο στον παρανομαστή.
Πώς εργαζόμαστε σε αυτές τις περιπτώσεις ;

• Αναλύουμε τους παρανομαστές σε γινόμενα παραγόντων (παραγοντοποιούμε)
• Προσδιορίζουμε τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες μηδενίζεται κάθε παρανομαστής (πρέπει οι παρανομαστές να μη μηδενίζονται)
• Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών και πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με αυτό.
• Κάνουμε απαλοιφή των παρανομαστών και επιλύουμε την εξίσωση
• Από τις λύσεις που βρήκαμε απορρίπτουμε τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισμούς.

                   Να λυθεί η εξίσωση :

Νόμος του Ωμ

Συνδέουμε δύο διαφορετικούς αγωγούς σε πηγή συνεχούς ρεύματος και μετράμε την ένταση του ρεύματος που τους διαρρέει καθώς και την ηλεκτρική τάση που εφαρμόζεται στα άκρα τους.

1ος αγωγός			2ος αγωγός
Τάση (V)	Ένταση ρεύματος(A)		Τάση (V)	Ένταση ρεύματος(A)
0	0		0	0
1	0,4		1	0,4
1,5	0,6		1,5	0,6
2	0,8		2	0,9
2,5	1		2,5	1,2
3	1,2		3	1,5

Ποιος από τους δύο αγωγούς υπακούει στο νόμο του Ωμ ;

Αντιστάτης & Αντίσταση

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αντιστάτη και αντίσταση ;

Αντίσταση (R) είναι το φυσικό μέγεθος που προκύπτει από το πηλίκο της ηλεκτρικής τάσης που  εφαρμόζεται στα άκρα ενός αγωγού προς την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που τον διαρρέει .




Αντιστάτης είναι το σώμα, ο αγωγός που έχει σταθερή αντίσταση η οποία δεν εξαρτάται από τις τιμές της τάσης και του ρεύματος. Δηλαδή , ο αντιστάτης είναι ο αγωγός που υπακούει στο νόμο του Ohm.

Θα πείτε όμως τώρα : Πώς γίνεται η αντίσταση R που ορίζεται ως το πηλίκο της τάσης προς την ένταση του ρεύματος να μην εξαρτάται από αυτά τα μεγέθη ;
Για τους αντιστάτες ισχύει το εξής : Εφόσον η θερμοκρασία του αγωγού παραμένει σταθερή, όσο αυξάνεται η ηλεκτρική τάση που εφαρμόζεται στα άκρα του αγωγού, τόσο αυξάνεται και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που τον διαρρέει ώστε το πηλίκο τους (που εκφράζει την αντίσταση) να παραμένει σταθερό.

Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού

1. Να βρείτε έναν θετικό αριθμό, ώστε το γινόμενό του με έναν αριθμό που είναι μικρότερος του κατά 5 να είναι 6.

2. Το εμβαδόν ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου είναι 600 τετρ.μέτρα. Να βρείτε τις διαστάσεις του, αν αυτές διαφέρουν κατά 10 μέτρα.

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις

Να λύσετε τις εξισώσεις 2ου βαθμού :

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Τι κάνουμε για να λύσουμε τη γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού

      

;


Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα
        


Διακρίνουμε περιπτώσεις :
α) Αν Δ>0 , τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις :

       




β) Αν Δ=0 , τότε η εξίσωση έχει μία διπλή λύση :

      

γ) Αν Δ<0 , τότε η εξίσωση δεν έχει λύση (είναι αδύνατη)

Ασκήσεις στις δευτεροβάθμιες

Λύστε και αυτές τις ασκήσεις :

Εξισώσεις 2ου βαθμού (δευτεροβάθμιες)

Η γενική μορφή μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού έχει τη μορφή :

με α διαφορετικό από το μηδέν

όπου α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης.
Ο συντελεστής γ λέγεται σταθερός όρος

Πώς επιλύουμε την εξίσωση

• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α΄μέλος
• Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων (παραγοντοποιούμε )
• Για να είναι ένα γινόμενο ίσο με μηδέν, πρέπει κάθε παράγοντας να είναι μηδέν

Πώς επιλύουμε την εξίσωση :

• Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων (παραγοντοποιούμε)
• Για να είναι ένα γινόμενο ίσο με μηδέν, πρέπει κάθε παράγοντας να είναι μηδέν

Προσπαθήστε να λύσετε τις εξισώσεις :

Δείτε τις λύσεις

Ασκήσεις στις ρητές παραστάσεις

Να κάνετε τις πράξεις :

α)

β)

 Δείτε τις λύσεις

Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις

Πώς εργαζόμαστε , αν θέλουμε να υπολογίσουμε αθροίσματα ρητών αλγεβρικών παραστάσεων ;

Πρώτα - πρώτα ρητές αλγεβρικές παραστάσεις ονομάζουμε τις παραστάσεις που είναι κλάσματα και οι όροι τους πολυώνυμα.
Οι μεταβλητές της ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρανομαστή της.

Ποια είναι η διαδικασία που ακολουθούμε :

α) Παραγοντοποιούμε τους παρανομαστές

β) Αν οι παρανομαστές είναι διαφορετικοί, βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.

γ) Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα

δ) Εκτελούμε τις πράξεις στους αριθμητές κάνοντας αναγωγή ομοίων όρων, απλοποιήσεις  κτλ